几何的感悟

发布时间:2017-02-15 来源: 人生感悟 点击:

几何的感悟篇一:图形与几何心得体会

面积的初步了解

物体的表面或封闭图形的大小,叫做它们的面积。 “面积”这一知识属于《数学课程标准》中空间与图形领域的内容。新课标中强调:在教学中,应注重使学生通过观察、操作、推理等手段,逐步认识简单几何体和平面图形的形状、大小、位置关系及变换;应注重通过观察物体、认识方向、制作模型、设计图案等活动,发展学生的空间观念。

“面积”的概念是学生学习几何形体的基础,因此要让学生在具体生动的情境中感悟和理解这一概念学习的重要性和必要性。因做到以下几点:

一、数学课堂教学紧密联系生活

《数学课程标准》指出:“学生的数学学习内容应当是现实的,有意义的,富有挑战性的,这些内容有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。”大连办公家具厂学习内容来自学生生活实际,在学生已有的经验的基础上学习,可使学习更有效。因为,学习内容贴近学生知识经验,符合学生心理特征,容易形成知识结构,同时也充分体现了学习生活化的理念。面积的概念具有较强的抽象性,学生理解起来会有一定的难度,为了使学生较好地理解和掌握“面积”这个比较抽象的概念,我从生活入手,让学生找生活中物体的面,感知物体的面有大有小,进行物体面的大小比较,通过物体面的大小比较揭示物体表面的面积。这样层层深入,环环相扣,学生在不知不觉中理解了面积的含义,有种水到渠成的感觉。体现了现代教育思想

所倡导的“数学课堂教学应向学生提供与生活实际密切联系的、有价值的、富有趣味的教学内容”这一基本理念。

二、 关注估计不规则图形的面积

教材中提供用方格纸估计不规则图形的面积,这些方法容易被教师们忽视,恰恰是这些细节影响学生最深。因为,现实生活中有很多物体并不像教材上那样有规则。让学生学会估计的方法更有价值,更能实现学以至用的目标,同时也是发展学生空间观念的重要途径之一。 从学生的生活经验出发,引导学生把生活中对图形的感受与空间存在的几何图形建立联系,让学生充分感受到数学和生活的联系,体会到数学确实就在我们的身边,更有效地发展学生的空间观念。从而形成应用意识

总之,要准确理解教材的编排意图,联系学生的生活,按照学生的认知规律,合理重构教材,通过多种途径培养学生的空间观念,形成应用意识,让学生在广阔的数学世界中遨游。

几何的感悟篇二:初中数学几何与图形学习的心得体会

初中数学几何与图形学习的心得体会

通过学习了庄老师“图形与几何”的教学分析与案例评析专题讲座后,我深有体会,就以下几个方面谈谈感想:

一、空间观念的培养

作为数学学习的核心内容之一 : 学生的空间观念的培养,成为新课程的一大特色,《新课程标准》把“空间观念”作为义务阶段培养学生初步的创新精神和实践能力的一个重要学习内容。

传统的几何课程,内容差不多都是和演绎证明,到了初中后,几乎成了一门纯粹的关于证明的学问。表面上看是遵循了“数学是思维的体操”这一传统要求,但实际上学生的学习积极性、主动性在此过程中被无情地扼杀,数学应有的人文功能、应用功能得不到有效地发挥。尤其是错过了培养学生空间观念的最佳时期。事实上,空间观念是创新精神所必需的基本要素,没有空间观念几乎谈不上任何发明创造。因为许许多多的发明创造都是以实物的形态呈现的,作为设计者要先从自己的想象出发画出设计图,然后根据设计图做出实物模型,再根据模型修改设计,直至最终完善成型。这是一个充满丰富想象力和创造性的探求过程,这个过程也是人的思维不断在二维和三维空间之间转换、利用直观进行思考的过程,空间观念在这个过程中起着至关生要的作用。所以,明确空间观念的意义、认识空间观念的特点、学生的空间观念,对培养学生初步的创新精神和实践能力是十分重要的。这就是《标准》把“空间观念”作为义务教育阶段重要学习内容的原因。

按照《标准》描述的空间观念的主要表现,其具体要求是:能由实物的形状想象出几何图形,由几何图形想象出实物的形状,进行几何体与其三视图、展开图之间的转化;能根据条件做出立体模型或画出图形;能从较复杂的图形中分解出基本的图形,并能其中的基本元素及其关系;能描述实物或几何图形的运动和变化;能采用适当的方式描述物体间的位置关系;能运用图形形象地描述,利用直观来进行思考.

在这一章的教学过程中,学生动手较多,亲身体验较多,因此在充分挖掘图形的现实模型,充分让学生动手操作,自主探索,合作交流,以积累有关图形的经验和数学活动经验,发展空间观念之外,还应让学生有充分的思考和想象的空间。为此在学习之初,应鼓励学生先动手,后思考;而以后,则应鼓励学生先想象,再动手。例如,在开展正方体表面展开的教学时,可以让学生先观察正方体,再想象它的展开图,并把脑子里所想的图形画出来,然后再来进行动手操作,这样能充分验证学生对图形的空间想象力。

二、推理能力的培养

标准指出:学生通过义务教育阶段的数学学习,“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动,发展合情推理能力和初步的演绎推理能力”。演绎推理就是我们熟知的三段论,而合情推理则是指借助归纳、类比、统计等手段得出结论。在初中阶段它是我们问题和解决问题的重要手段。我们第二次教学几何知识是在第四章“平面图形及其位置关系”,这一章除了在探索图形性质、画图、拼摆图形、

图案设计的过程中,初步建立空间观念,发展几何直觉外,还要了解一些关于图形的概念,如:直线、射线、线段、角、角度、周角、平角、钝角、直角、锐角和相关的一些性质,进行简单的换算以及两条直线平行和垂直关系等等。其实这些内容小学里就已经学过,这里只是要求学生在小学学过有关知识的基础上能进一步系统地理解和掌握。

在第五章中,三角形是最简单、最基本的几何图形,在生活中随处可见,它不仅是其他图形的基础,在解决实际中也有着广泛的。因此探索和掌握它的基本性质对学生以后更好地认识现实世界,空间观念和推理能力都是非常重要的。

本章中,课本为我们提供了很多现实的有趣的问题情境,使学生经历从现实世界中抽象出几何模型和运用所学解决实际问题的过程,丰富的例子力求使学生能体会数学与生活的密切联系。多种形式的活动如测量、拼图、折纸和设计图案等,给了学生充分实践和探索的空间。为学生空间观念的发展,数学活动经验的积累,个性的发挥提供很好的机会。但我们在应用课本情境时,也要有一定的选择和变动。

三、应用意识的培养

义务阶段的数学学习,关于应用意识的刻画,主要在以下三个方面。

1、认识现实生活中蕴涵着大量的数学信息,数学在现实世界中有着广泛的应用。

2、面对实际问题时能主动尝试着用数学的角度,运用知识和寻求

解决问题的策略。

3、面对新的数学知识时,能主动寻找其实际背景,并探索其应用价值。

第七章是“生活中的轴对称”。这一章的学习是为了让学生欣赏体验轴对称在现实生活中的广泛应用和丰富的文化价值。在丰富的现实情境中,经历观察、折叠、剪纸、图形欣赏与设计等数学活动过程,进一步发展空间观念。同时结合现大连办公家具厂实生活中典型实例了解并欣赏物体的镜面对称,增进学习数学兴趣。

在本章的教学中,我们会发现原来身边有很多轴对称现象,对此学生也有同感,他们不但能发现,而且还能自己进行设计,许多学生设计出了各种各样的美丽图案,然而在这一章中有一个较为重要的知识点:第三节“探索轴对称的性质”。当师生通过观察并生活中的轴对称现象,让学生对轴对称的性质进行探索时,学生空间观念的培养,推理能力的发展,对图形美的感受等都在这些实践活动中得到了逐渐的发展。

几何的感悟篇三:谈谈我学习动态几何的体会

谈谈我学习动态几何的体会

彭翕成

华中师范大学 国家数字化学习工程技术研究中心 武汉 430079

这几年,我发表了一些关于动态几何的文章,出版了相关著作,也在网络上共享了不少资源。因此常被人问起:如何学习动态几何。国内有许多研究动态几何的高手,不论从技术,还是教学实践中的使用,胜于我者不在少数。但我还是想来谈谈这个问题,算是个人总结吧。

很多软件,譬如Word,功能很多,但只要知道了各个菜单的功能,使用起来就非常简单了;那些不常用的功能甚至不需要记,用的时候搜索帮助文件就可以了。动态几何软件则不同,譬如几何画板,菜单不多,且每个下拉菜单的长度很短,二级菜单更是寥寥无几。但这并不意味着几何画板就容易掌握,因为若干平凡功能的复合可能会变得不平凡。

我学习动态几何,分为几何画板和超级画板两个阶段。

我从2003年开始学习几何画板。自学,没有老师,没有教材,只是在网上下载了软件和几个课件。我花了一个星期的时间熟悉软件,知道了哪个菜单下有哪些工具,这些工具能够完成哪些功能,而要使用这些工具,需要先作什么。譬如希望作一个点在多边形周界上运动,需要先选择各顶点,构造出多边形内部,才能作出多边形周界上的点。

初学者最容易上手,也最容易被震撼的要数动态测量功能了。作一个几何图形,加上一些测量和计算,再拖动,就能从变化中发现不变的规律。我当时已经打算从事数学教育方面的工作了,觉得应该好好学习动态几何,将之作为一技之长。但那时,自学能力较差,不知道如何去网上搜索资源,寻求帮助,于是之后的一年多时间都没有什么大的进步。

记得有一次,我想作一个椭圆,想了好几天,没作出来,心里很是埋怨,大连办公家具厂难道几何画板只能作平面几何图形,不能运用于解析几何么?最后还是在网上找到了作法。

还有一次,我想作“过圆外一点P作圆的切线”,想了很久,被我想出来了,开心不已。虽然说穿了是如此简单:如图1,连接OP,作中点M,以M为圆心,MO为半径作圆交?O于N,则PN即为所求作的切线;不过就是用到“直径所对的角是直角”这一简单的知识点,但我后来的几何画板培训实践表明,如果以前没有这方面的学习,能够将平时用来解题的知识点运用到作图中来的人并不多。

图1

2004年,我买了几本几何画板的书,在网上也下载了一些资料,特别是我加入了当时积聚国内众多高手的几何画板论坛:求师德,通过学习高手的作品,我的水平有了较大的进步。现在回想起来,几何画板的学习窍门也就两点而已:不断追溯父子对象;创建新工具,查看脚本。

在求师德论坛的日子是令人难忘的,这不仅仅是我个人的感受,也是许多动态几何爱好者的心声。求师德的网友,不论是对新手的教导,还是同水平的人切磋,都是坦诚相见,毫不保留,所以大家的水平上升得都很快。国内一些中学数学网站,讨论也颇为热烈,但一遇到关键问题,高手们大都打住不讲了,因为他们需要以此发表文章。求师德的网友钻研技术的很多,热衷于写文章的好像很少。我曾经建议求师德的高手们写点文章,因为杂志上相当多的动态几何文章所作研究并不深入,甚至可能会误导人。可惜我的建议并不被多少网友接

受。求师德论坛后来关闭了,具体原因我不太清楚,这是让很多动态几何爱好者感到惋惜的。

2006年起,我开始转向超级画板的研究。超级画板由于吸收了几何画板一些优点,增加了很多功能,使得入门时间大大缩短,使用起来也更加方便。

不可避免地,我会对这两个软件进行比较。几何画板确实是一款非常优秀的数学软件,但很多的设计还是可以改进的。就拿前面所说的作圆的切线来说,原始的尺规作图方式有其存在的意义,但作为一个现代化的工具来说,其作法能否更加直接,效率进一步地提高呢?超级画板的智能画笔就做到了这一点。在保证动态几何性质的前提下,充分考虑中学老师的使用习惯,顺手一画即可完成任务。而且超级画板并不否定尺规作图法,用户可以选择原始方法来锻炼基本功,也可以采用先进方法迅速作出基本图形,进一步探究以求获得新的知识。

又如作多边形上的点,从数学上来说,选择多边形各个顶点就应该能够作出了,何必一定要先构造多边形内部呢?在这一问题上,超级画板比几何画板更符合数学本质。

至于原来让我头痛的几何画板探究圆锥曲线,在使用超级画板之后也变得轻松了,因为超级画板在解析几何方面提供了相当强大的功能。近几年,随着动态几何研究队伍的扩大,网上这方面的资料越来越多了,随便一搜,光是椭圆的作法,至少能搜出二十几种。这些作法,了解一下是很有好处的,它与“茴字的四种写法”有着本质的不同。每一种作法都反映了圆锥曲线的某些性质。掌握这些作法,对研究解析几何大有裨益。但也必须注意到,由于几何画板缺少最根本的解析几何作图功能:输入二次曲线方程作图,这让相当多的用户苦恼。

高手们总是会想出各种方法来补救现有软件的不足,他们的研究热情,

几何的感悟

所付出的努力,是一般人难以想象的。譬如几何画板4.0不能构造函数与直线的交点,很多画板爱好者花费大量时间,想出各种近似作法,但这些作法也仅在高手中流传,因为一般人难以掌握这些技巧。但几何画板5.0的推出,交点功能的改善使得这一问题变得简单。这说明,软件开发者多为用户着想,多做一些工作,就能使得数以万计的用户节省时间,提高效率。

学习动态几何并不需要你有多高的计算机水平。培训实践表明,在最开始的入门阶段,计算机老师比数学老师要快,而一旦过了这一阶段,数学老师就远远地把计算机老师甩在后面。原因也很简单,虽然软件的操作是基础,不掌握基本操作,很多想法都无法实现,但最终决定动态几何水平高低的,还是看谁有扎实的数学功底,特别是平面几何作图方面。

在传统几何学习中,作图与计算、证明三者的地位是并列的,而近些年,中学已经大大删减如何作图了。为了学好动态几何,我曾经下功夫研究过一些作图。譬如已知三角形两边和第三边的角平分线长作三角形。我最早的作法是:如图2,以C为圆心,分别以b、lc、a为半径作圆;在半径为b、a的圆上任取A、B两点,在AB线段上作比例点D,使得DACA?;然后拖动B,使得D刚好落在半径为lc的圆上。这样作图,显然不符合动态几DBCB

何作图要求,因为一拖动就会散架,不能保持几何性质。但我觉得动态几何的这种近似作图也有其存在的意义,直到现在,面对这种几何约束作图,不少杂志社、出版社束手无策,随手所作图形差错十分明显。他们确实有学一下动态几何的必要了。

我后来想出了此题的尺规作法,但在此处,我却想着重介绍另外一题:在△ABC的BC边上,作点M使得△ABM和△ACM的内切圆半径相等。我最初也是采用近似作法。为了得到准确作法,我问了不少人,没人会做。查了很多资料,最后在一本40年代的几何书上找到了作法(后来发现梁绍鸿的《初等数学复习及研究(平面几何)》也有),才作出图来。

图2 图3

作法:如图3,

(1)BC的中垂线DE交△ABC的外接圆于E;

(2)作△ABC的内心F;以E为圆心,EB为半径作圆;FE交圆E于G;

(3)过A作GB的平行线交BF于H;过A作GC的平行线交CF于I;

(4)作AB关于AH的对称直线交BC于M;

其中M即为题目所求。H、I分别为△ABM和△ACM的内切圆圆心。

图3作法巧妙,是很难想到的。也许有人会问:这个问题和动态几何有什么关系呢?根本就是个数学题嘛!的确如此。因为我们研究动态几何的根本目的就在于研究数学,而不是研究软件本身。随着软件的发展,这种几何约束作图也会变得容易,譬如Geometry Expressions就在这方面已经作出了相当不错的尝试。

接下来,我想尝试回答一个问题。

一直以来,有人对动态几何的作用提出质疑,其典型观点是:利用动态几何软件,不管是超级画板还是几何画板,很多题目确实一作图、一测量就出来结果了。但学生考试的时候,是不能使用计算机的,而且通过动态测量发现的也只是结果,没有解题过程。

众所周知,但凡能够让人产生依赖的东西必然有其独特之处,譬如一本好的复习资料,一个好的家教,虽然有学生过分依赖好的复习资料和好的家教,上课听课不认真了,但并不能因此就否定复习资料和家教的作用。

一件事物在一定条件下能够发挥作用帮助到你,就说明它是有用的,这就够了,我们不能求全责备,一定要它包打天下才行。就好比有人反对负数,理由是:你见过-1个人么?确实,我们没有见过-1个人,但却存在-1℃。这就说明负数有存在的意义。

下面这个案例应该能够在一定程度上说明问题。

有学生问我这样一个题目:如图4,在正方形ABCD中,过点D作对角线AC的平行线,在平行线上作点E,使得CA?CE,CE交AD于F,求证:AE?AF。

图4图5

我给出的证明:如图5,作EI?AC,设BD交AC于O,显然四边形EDOI是矩形,CE?CA?BD?2OD?2IE,所以?ACE?30?,易得?AEF??AEF?75?,所以AE?AF。

但此题并没有到此结束,还可以探究。细心的读者会发现图5大连办公家具厂中作的垂足标签为I,按常理,紧接下来的标签应该是G!这是因为我看到题目时,就感觉图4只是题目叙述的可能情况之一。一般的解题者对题目给出的图形比较依赖;而长期使用动态几何的人解题时,则会不自觉地去尝试重新作图,即使不动手,也会在心里面把作图步骤走一遍。

对于此题,在作好正方形ABCD后,寻找满足条件的E时,通常是以C为圆心,CA为半径作圆,很明显圆与平行线的交点不止一点E,还有一点G,也满足CA?CG。在前面证明的基础上,我们容易证明AG?AH。如图6,作GJ?AC,显然CG?C?AB2?DO2?D2?I,所以EJG?30?,易得?CGA??CHA?15?,?GCJ

所以AG?AH。

我把进一步的探究和学生讲了之后,学生很佩服。因为在他看来,老师会解题,这是老师应该会的,不算什么;但老师能够拿到题还能有新发现,说明老师很有水平。

图6

一个人在长期使用动态几何软件之后,是否能摆脱软件,达到手上无画板,心中有画板的境界呢?理智告诉我,这几乎不可能,至少我个人是做不到这一点。但我坚信,长期使用动态几何会使人加深对数学的理解;而使用Flash或PPT,则很难帮助你提高数学水平。我坚信,所以我坚持。

补充:已知三角形两边和第三边的角平分线长作三角形。

尺规作法分析:如图,假设△ABC为所求作,设CD是它的角平分线。引边BC的平行线MD(点M在边AC上)。因为?MCD??MCD??MDC,△CMD是等腰三角形。因为MCDBCBaab?,b所以MC????,且AM?MC。根据CD?cl和腰AMACACba?b

abMD?MC?作出等腰△CMD。然后在射线CM上截取线段CA?b。又在射线CM关于a?b

直线CD对称的射线上截取线段CB?a。

如果感觉解答此问题有困难,可先解决“已知三角形两边和第三边的中线长作三角形” 问题。而要以a,b,mc作三角形,可先以

点的性质就很简单了。 ab,,mc作三角形。接下来的作图根据中22

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